Polinomial atau Suku Banyak



Polinomial

 Apa itu polinomial? Poinomial atau disebut juga suku banyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. secara sederhana, polinomial adalah suatu bentuk matematika yang memuat variabel berpangkat. Polinomial sendiri mmiliki arti yaitu poli yang berarti banyak dan nomial yang berarti nilai. 

Secara umum bentuk polinomial dapat dituliskan:
f(x) = anxⁿ+ .... +  a2x² + a1x¹ + a₀x⁰ 

keterangan:  
a       = koefisien
x       = variabel
a₀x⁰ = konstanta

Contoh bentuk polinomial:
               f(x) = 8x3 -6x2 - 5x +5
Contok bukan polinomial:
F(x) = 8x4/5 -6x1/2 - 5x +5

Operasi Polinomial
1. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian
    Contoh:
Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut
f(x) = x3 - x2 + 5x - 10
g(x) = x2 - 2x + 8
Tentukan :
a) f(x) + g(x)
b) f(x) - g(x)
c) f(x) x g(x)
Penyelesaian
a) f(x) + g(x) = (x3 - x2 + 5x - 10) + (x2 - 2x + 8)
                    = x3 - x2 + 5x - 10 + x2 - 2x + 8
                  = x3 - x2 + x2 + 5x - 2x - 10 + 8 → susun dari pangkat yang    tertinggi
                    = x3 + 3x - 2
b) f(x) + g(x) = (x3 - x2 + 5x - 10) - (x2 - 2x + 8)
               =  x3 - x2 + 5x - 10 - x2 + 2x - 8
               = x3 - x2 - x2 + 5x + 2x - 10 - 8
                = x3 - 2x2  + 7x - 18
c) f(x) x g(x) = (x3 - x2 + 5x - 10) × (x2 - 2x + 8)
               = x3(x2 - 2x + 8) - x2(x2 - 2x + 8) + 5x(x2 - 2x + 8) - 10(x2 - 2x + 8)
               = x5 - 2x4 + 8x3 - x4 + 2x3 - 8x2  + 5x3 - 10x2 + 40x - 10x2 + 20x - 80
               = x5 - 7x4 + 33x3 - 48x2 + 60x - 80

2. Pembagian Polinomial 
   Pembagian polinomial bisa diselesaikan dengan cara bersusun bisa juga dengan cara horner.
    a. Cara bersusun
           8x² +10x + 1 → hasil pembagian
x – 2 ∕  8x3 -6x2 - 4x +5 → fungsi
  ↓       8x² -4x²                      -
pembagi        10x² - 4x +5 
                     10x²– 5x           -
                                   x + 5
                                   x - 2     -
                                  7       → sisa pembagian

NILAI POLINOMIAL

 ada dua metoda untuk menentukan nilai polinomial

1.  Metoda Substitusi 
      Yaitu denga memasukkan nilai "x" kedalam fungsi polinomial.

Sebagai contoh :
f(x) = 8x3 -6x2 - 5x +5
x = 2   

Pembahasan:
f(x)  = 8x3 -6x2 - 5x +5
f(2) = 8(2)3 -6(2)2 - 5(2) +5
f(2) = 8(8) - 6(4) - 5(2) + 5
f(2) = 64 - 24 - 10 + 5
f(2) =35
Jadi nilai dari fungsi f(2) adalah 35. 
2. Metoda Horner 

















Keterangan: setelah 4 turun kebawah maka dikali dengan x, lalu dijumlahkan dengan dengan angka diatasnya ,dan hasilnya kemudian kalikan dengan x ,begitupun seterusnya sampai mendapatkan sisa. Hasil aksirnya adalah 35, sama dengan jawaban sebelumnya.


Algoritma Pembagian
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
Kita bisa membuktikannya dengan algoritma pembagian.
Pembuktian:
F(x) = p(x) . h(x) + s(x)
8x3 -6x2 - 4x +5 = (x – 2) . (8x² +10x + 1) + 7
                           = 8x3 + 10x2 + x - 16x2 - 10x - 2 + 7
                           = 8x3 -6x2 - 4x +5  (terbukti)


Terorema Polinomial
1. Teorema Sisa 
Ada 3 teorema:
a. Teorema 1
Jika suku banyak f(x) dibagi x-k ,maka akan bersisa (k) atau
  f(x)   bersisa f(k).
(x-k)
Contoh soal:
F(x) =  x3 + 7x2 + 4
x-2
  Kita bisa menyelesaikannya menggunakan Horner atau cara bersusun.

 Horner
(x-2)
X=2
1
7
2
0
18
4
36

1
9
18
40
X2 + 9x + 18

Bersusun
 

Sehingga,
F(k) = k2 + 9(k) + 18
F(2) = 22 + 9(2) + 18
= 4 + 18 + 18
F(2) = 40




b. Teorema 2
Jika suku banyak f(x) dibagi ax-b maka akan bersisa f(a/b).
Atau  f(x)  maka akan bersisa f(a/b).
ax-b
Contoh soal:
F(x) =  x3 + 7x2 + 4
2x-1

Horner
(2x-1)
X=1/2
1
0
7
1/2
0
15/4
4
15/8

1
15/2
15/4
47/8
X2 + 15/2x + 15/4
Bersusun
               1/2x² - 13/4 x + 13/8   
          2x – 1 /  x³ – 7x ² + 0 +4 
                            x³ - 1/2x²                -
                              -13/2x² + 0 +4            
                               -13/2 x² -13/4 x     -
13/4x + 4
                                             13/4x - 13/8  -
                                                        47/8   

c. Teorema 3
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b) maka sisanya adalah p(x)+ q dengan f(a) = p(a) + q dan f(b) = p(b) + q

Contoh soal
Tentukan nilai sisa dari pembagian polinomial  x3 - 2x2 + x + 1 
x² - 3x -10
Penyelesaian:

Faktorkan x² - 3x -10 sehingga mendapat (x-2) (x+1)
a= 2
b= 1

-mencari nilai f(a) dan f(b)
  F(x) = x3 - 2x2 + x + 1
  F(a) = a3 - 2a2 + a + 1
  F(2) = 23 - 2(2)2 + 2 + 1
  F(2) = 8 - 8 + 2 + 1
  F(2) = 3

F(x) = x3 - 2x2 + x + 1
F(b) = b3 - 2b2 + b + 1
F(1) = 13 - 2(1)2 + 1 + 1
F(1) = 1 -2 + 1+ 1
F(1) = 1

*masukkan nilai a dan b kedalam sifat

f(a) = p(a) + q
f(2) = p(2) + q
f(2) = 2p + q
3  = 2p + q
2p + q = 3 … (1)

f(b) =  p(b) + q
f(1) = p(1) + q
f(1) = p + q
1  = p + q
p + q = 1 … (2)

*eliminasi pers 1 dan 2

2p + q = 3
 p + q = 1 -
 p   = 2

*substitusikan nilai p ke salah satu persamaan

p + q = 1
2 + q = 1
   q = 1 -2
   q = -1

Maka sisa pembagian px + q → 2x - 1

*pembuktian

                     x + 1               
  x² - 3x + 2/  x³ - 2x² + x + 1
                        x³ - 3x² + 2x    -
                               x² - x + 1   
                              x² – 3x + 2   -
                                      2x - 1   (terbukti)


2. Teorema Faktor
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan bersisa nol , maka itulah faktornya
 f(x) = p(x)h(x) + s(x),  s(x)=0

Contoh soal:
Pemfaktoran dari x³ + x² - 9x – 9

*menggunaka horner 


→ cari faktor untuk 9, yaitu 1,3,9





                             ↓                             ↓



                     x² + 4x + 3           sehigga sisanya 0
Hasilnya x² + 4x + 3 kita faktorkan lagi menjadi (x + 3)(x + 1)
Sehingga didapat algoritma nya adalah
x³ + x² - 9x – 9 = (x-3) (x + 3)(x + 1)








Komentar

Posting Komentar